Permis L et fiscalité + carte de séjour française

Bonjour,

Nous avons une proposition d’embauche en Suisse, près de la frontière.
Le problème est que l’employeur veut nous faire un permis L de 5 mois.

Nous pensions qu’il était plus logique d’avoir un permis G de frontalier, mais il ne veut pas, il veut que nous habitions en Suisse durant ces 5 mois. Nous pouvons y louer un hébergement à proximité du lieu de travail.

Toutefois, la question est de savoir, dans le cadre d’un permis L, si nous devrons déménager toute notre fiscalité en Suisse pour ensuite re-déménager notre fiscalité en France une fois les 5 mois écoulés ?

Nous sommes 2 personnes. L’une est de nationalité française, l’autre est titulaire d’une carte de séjour 10 ans.
Est-il possible de travailler sous un permis L avec une carte de séjour française de 10 ans ?

Autre question, devrons nous, sous un permis L, souscrire à l’assurance maladie suisse ? et devrons nous dans ce cas nous radier de la sécu française ?

Dernière question, la personne de nationalité française a 3 ados scolarisés dans des internats français. Doit elle donc également radier les enfants du système français (sécu, caf, etc…) pour 5 mois seulement ?

Merci par avance de vos éclaircissements.